和差化积

和差化积公式：包括正弦、余弦、正切和余切的和差化积公式，是三角函数中的一组恒等式，和差化积公式共10组。在应用和差化积时，必须是一次同名（正切和余切除外）三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次。
和差化积和差化积公式即三角函数中的一组恒等式：
对于（1）至（4），可以用积化和差公式推导，也可以由和角公式得到，以下用和角公式证明之。
由和角公式有：
两式相加、减便可得到上面的公式（1）、（2），同理可证明公式（3）、（4）。
对于（5）、（6），有：
对于（7）、（8）、（9）、（10），也可用类似的方法推出。
证毕。
和差化积平方形式的和差化积公式下面不加推导地给出几个公式。对于正余弦平方的减法，同样有和差化积公式：
可以只记上面四个公式的第一个和第三个。
第二个公式中的
同理，第四个公式中。
如果对诱导公式足够熟悉，可以在运算时把余弦全部转化为正弦，那样就只记住第一个公式就行了。
用的时候想得起一两个就行了。
这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。正弦和余弦的值域都是[-1,1]，其积的值域也应该是[-1,1]，而和差的值域却是[-2,2] ，因此乘以2是必须的。
也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如：
故最后需要乘以2。
无论是正弦函数还是余弦函数，都只有同名三角函数的和差能够化为乘积。这一点主要是根据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公式展开后乘积项的形式都不同，就不会出现相抵消和相同的项，也就无法化简下去了。
在和差化积公式的证明中，必须先把α和β表示成两角和差的形式，才能够展开。熟知要使两个角的和、差分别等于α 和β，这两个角应该是
注意和差化积和积化和差的公式中都有一个“除以2”，但位置不同；而只有和差化积公式中有“乘以2”。
这一点较好的记忆方法是拆分成两点，一是是否同名乘积，二是“半差角”（α-β）/的三角函数名。
是否同名乘积，仍然要根据证明记忆。注意两角和差公式中，余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积，正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。所以，余弦的和差化作同名三角函数的乘积；正弦的和差化作异名三角函数的乘积。
由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。如果要使和化为积，那么α和β调换位置对结果没有影响，也就是若把
这是一个特殊情况，完全可以死记下来。
当然，也有其他方法可以帮助这种情况的判定，如
（一）
正加正，正在前。
余加余，余并肩。
正减正，余在前。
余减余，负正弦。
（反之亦然）
（二）
帅+帅=帅哥。
帅-帅=哥帅。
哥+哥=哥哥。
哥-哥=负嫂嫂。
（反之亦然）
（三）
口口之和仍口口。
赛赛之和赛口留。
口口之差负赛赛。
赛赛之差口赛收。
（四）
正和正在先。
正差正后迁。
余和一色余。
余差翻了天。
（五）
正弦加正弦，正弦在前面。
正弦减正弦，余弦在前面。
余弦加余弦，余弦全部见。
余弦减余弦，负正弦来见。
（前提是角度
（六）
和差化积：
同名和差三角积，（
左是
右是两角和与差。（
双正S SC，（
即
双负SCS，（
即
双正C对正双C，（
即
双负C对负S。（
即
（七）
和差化积二倍半，和前函数名不变；余弦稳正弦跳，余弦相减取负号。
已知
解：将已知条件编号
①的平方+②的平方，得：
所以：
则：
计算可得：
①×②，得
所以
则
则
运用和差化积公式：
上式可变为：
所以
将
和差化积记忆方法可以只记上面四个公式的第一个和第三个。
第二个公式中的
同理，第四个公式中。
如果对诱导公式足够熟悉，可以在运算时把余弦全部转化为正弦，那样就只记住第一个公式就行了。
用的时候想得起一两个就行了。
这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。正弦和余弦的值域都是[-1,1]，其积的值域也应该是[-1,1]，而和差的值域却是[-2,2] ，因此乘以2是必须的。
也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如：
故最后需要乘以2。
无论是正弦函数还是余弦函数，都只有同名三角函数的和差能够化为乘积。这一点主要是根据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公式展开后乘积项的形式都不同，就不会出现相抵消和相同的项，也就无法化简下去了。
在和差化积公式的证明中，必须先把α和β表示成两角和差的形式，才能够展开。熟知要使两个角的和、差分别等于α 和β，这两个角应该是
注意和差化积和积化和差的公式中都有一个“除以2”，但位置不同；而只有和差化积公式中有“乘以2”。
这一点较好的记忆方法是拆分成两点，一是是否同名乘积，二是“半差角”（α-β）/的三角函数名。
是否同名乘积，仍然要根据证明记忆。注意两角和差公式中，余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积，正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。所以，余弦的和差化作同名三角函数的乘积；正弦的和差化作异名三角函数的乘积。
由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。如果要使和化为积，那么α和β调换位置对结果没有影响，也就是若把
这是一个特殊情况，完全可以死记下来。
当然，也有其他方法可以帮助这种情况的判定，如
（一）
正加正，正在前。
余加余，余并肩。
正减正，余在前。
余减余，负正弦。
（反之亦然）
（二）
帅+帅=帅哥。
帅-帅=哥帅。
哥+哥=哥哥。
哥-哥=负嫂嫂。
（反之亦然）
（三）
口口之和仍口口。
赛赛之和赛口留。
口口之差负赛赛。
赛赛之差口赛收。
（四）
正和正在先。
正差正后迁。
余和一色余。
余差翻了天。
（五）
正弦加正弦，正弦在前面。
正弦减正弦，余弦在前面。
余弦加余弦，余弦全部见。
余弦减余弦，负正弦来见。
（前提是角度
（六）
和差化积：
同名和差三角积，（
左是
右是两角和与差。（
双正S SC，（
即
双负SCS，（
即
双正C对正双C，（
即
双负C对负S。（
即
（七）
和差化积二倍半，和前函数名不变；余弦稳正弦跳，余弦相减取负号。
已知
解：将已知条件编号
①的平方+②的平方，得：
所以：
则：
计算可得：
①×②，得
所以
则
则
运用和差化积公式：
上式可变为：
所以
将
和差化积记忆口诀（一）
正加正，正在前。
余加余，余并肩。
正减正，余在前。
余减余，负正弦。
（反之亦然）
（二）
帅+帅=帅哥。
帅-帅=哥帅。
哥+哥=哥哥。
哥-哥=负嫂嫂。
（反之亦然）
（三）
口口之和仍口口。
赛赛之和赛口留。
口口之差负赛赛。
赛赛之差口赛收。
（四）
正和正在先。
正差正后迁。
余和一色余。
余差翻了天。
（五）
正弦加正弦，正弦在前面。
正弦减正弦，余弦在前面。
余弦加余弦，余弦全部见。
余弦减余弦，负正弦来见。
（前提是角度
（六）
和差化积：
同名和差三角积，（
左是
右是两角和与差。（
双正S SC，（
即
双负SCS，（
即
双正C对正双C，（
即
双负C对负S。（
即
（七）
和差化积二倍半，和前函数名不变；余弦稳正弦跳，余弦相减取负号。
已知
解：将已知条件编号
①的平方+②的平方，得：
所以：
则：
计算可得：
①×②，得
所以
则
则
运用和差化积公式：
上式可变为：
所以
将

TAG：和差化积